Unaseriees lasumade los términos de unasucesión. Se representa una serie con términosancomo
dondenes el índice final de la
serie. Lasseries infinitasson aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir,.
Las seriesconvergenodivergen. Encálculo, unaseriedivergesi no existe o si tiende a infinito;puede convergersi
Serie finita
xi= 0para todoi>nyyi= 0para todoi>m. En este caso el producto de
Cauchy de
Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.
Serie infinita
§Primer ejemplo. Para alguna
por definición y lafórmula binomial. Dado que,formalmente se ha demostrado que
Como el límite del producto de Cauchy de dos seriesabsolutamente convergenteses igual al producto de los límites de esas series (véasedebajo), se ha demostrado por lo tanto la fórmulaexp(a+b) = exp(a)exp(b)para todo
Segundo ejemplo. Seax(n) = 1para todo,por lo tanto el producto de Cauchy
Definición: Llamamos serie de potencias a toda expresióndel tipo
, en donde
Es decir
Por ejemplo
en donde todos los valen 1, o
y todos sus .
Es interesante saber cuáles son los valores de x ÎRpara los que las respectivas series funcionales se convierten en series numéricas convergentes. Por ejemplo si en la primera de las dos series anteriores hacemos x=0, es 1 + 0 + 0 +....+ 0 +... y esta serie es obviamente convergente. En cambio si x = 1, se convierte en 1 + 1 +... +... que es divergente.
Pero para x = 1/2 es
que es una serie geométrica de razón y su con lo que la serie es convergente.Más aún,es una serie geometrica de razón xy será convergente si , es decirsi ,
siendo .
Si se cumple esta condición:
Entonces bajo ciertas condiciones, una serie de potencias describe exactamentea a una función. En este caso a , pero sólo en el intervalo (-1;1).
Gráficamente
sólo definida en la parte marcada gruesa por la serie
Si en el segundo ejemplo tomamos x =1, se convierte en
Intervalo de convergencia: Se llama intervalo de convergencia I al conjunto de valores reales de x que convierte a la serie de potencias en una serie numérica convergente.
Radio de convergencia: Lamamos así a la menor de las cotas superiores del conjunto I.
En el caso de se observa que el intervalo de convergencia es I = (-1;1) y el radio de convergencia es R = 1.
Se observa que el intervalo I está centrado en el origen. Siempre es asi para el I de .
Cálculo del radio e intervalo de convergiencia:
Sea la serie de potencias . Formemos la serie de valores absolutos, es decir
que es una serie de términos positivos que si converge arrastrará la convergencia de que no necesariamente es de términos positivos.
La convergencia de la estudiaremos con el criterio de D'Alembert, o sea si será convergente.
Desarrollando
y entonces la serie converge para
ó
Llamamos R alyademás .
Para todos los valores de an=1, , en cambio para es yelI= R
Series de McLaurin y Taylor:
Sea la fórmula de McLaurin
siendo con0 < z < x.
Es decir .
Llamaremos serie de MacLaurin asociada a una función f(x) a la expresión
Esta serie describe exactamente a la función f(x) cuando coincidacon la fórmula de McLaurin y para ello deberá cumplirse que:
1)Se trabaje en el intervalo de convergencia de la serie y
2).
Ejemplo: Sea f(x) = ex
Veremos si.
que .
Ejercicio:
Desarrollar f(x) = sen x en serie de potencias.
f(x) = senx ;f(0)=0
f'(x) = cosx ; f '(0)=1
f"(x)= -senx;f"(0)=0
f"'(x)= -cosx ; f"'(0)=-1
fIV(x)= senx;fIV(0)=0
fV(x)= cosx;fV(0) =1 ygeneralizando
peroen todo caso siempre son en valor absoluto menores que 1, y finalmente
con lo que y finalmente
Estudiemos el intervalo de convergencia
y por lo tanto I = R Vea se en http://www.alipso.com/monografias
.
no existe o si tiende a infinito; puede converger si 
se ha demostrado que 
valen 1, o
.
es 1 + 0 + 0 +....+ 0 +... 
y su 
es una serie geometrica de razón x
, es decir
,
.
sólo definida en la parte marcada gruesa por la serie
.
. Formemos la serie de valores absolutos, es decir
que no necesariamente es de términos positivos.
la estudiaremos con el criterio de D'Alembert, o sea si
será convergente.
ó 
.
todos los valores de an=1
, en cambio para 
es 
.
.
.
y finalmente
