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martes, 31 de mayo de 2011

4.2 Serie numérica y convergencia Prueba de la razón (criterio de D´Alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy).

El Criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera.
Definiendo con n a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos L al límite para n tendiendo a infinito de  
se obtiene un número L, con los siguientes casos:

El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:Sea: 



Tal que:
§  f(n) > 0 (o sea una sucesión de terminos positivos) y
§  f(n) tienda a cero cuando n tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)
Se procede de la siguiente manera:  



Así obtenemos L y se clasifica de la siguiente manera: 
§  L < 1 la serie converge
§  L > 1 la serie diverge
§  L = 1 el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie  
  
        tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe.


Entonces, si:
§  L < 1, la serie es convergente.
§  L > 1 entonces la serie es divergente.
§  L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión. 
FUENTE: 
   

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